Cholesky-bomlás

gazdasági-szótár

A Cholesky-felbontás az LU mátrixbontás egy speciális fajtája, az angol Lower-Upper szóból, amely abból áll, hogy egy mátrixot két vagy több mátrix szorzatává alakítanak.

Más szavakkal, a Cholesky-felbontás abból áll, hogy egy azonos számú sort és oszlopot tartalmazó mátrixot (négyzetmátrix) egyenlővé teszünk egy olyan mátrixszal, amelyben a főátló feletti nullák megszorozzák a főátló alatti nullákkal transzponált mátrixot.

Az LU dekompozíció Cholesky-vel ellentétben különféle típusú négyzetmátrixokra alkalmazható.

Cholesky bomlási jellemzők

A Cholesky-bontás a következőkből áll:

  • Felső háromszög alakú négyzetmátrix: Olyan négyzetmátrix, amelynek a főátlója alatt csak nullák vannak.
  • Alsó háromszög alakú négyzetmátrix: Olyan mátrix, amelynek csak nullák vannak a főátló felett.

Matematikailag, ha létezik pozitív határozott szimmetrikus mátrix, ÉS, akkor van egy alsó háromszög szimmetrikus mátrix, K, ugyanolyan méretű, mint ÉS, aminek eredménye:

A fenti mátrix E Cholesky-mátrixaként jelenik meg. Ez a mátrix az E mátrix négyzetgyökeként működik. Tudjuk, hogy a négyzetgyök tartománya:

{X ∈ ℜ: x ≥ 0}

Ami minden nemnegatív valós számban definiálva van. A négyzetgyökhöz hasonlóan a Cholesky-mátrix csak akkor létezik, ha a mátrix félig pozitív határozott. A mátrix félig pozitív határozott, ha a fő minorok pozitív vagy nulla determinánssal rendelkeznek.

A Cholesky-féle bomlás ÉS egy diagonális mátrix, amely:

Láthatjuk, hogy a mátrixok négyzet alakúak és tartalmazzák az említett jellemzőket; nullákból álló háromszög a főátló felett az első mátrixban és nullákból álló háromszög a főátló alatt a transzformált mátrixban.

Cholesky dekompozíciós alkalmazások

A pénzügyekben a független normálváltozók realizációit korrelációs mátrix szerint korrelált normál változókká alakítják. ÉS.

Ha N független normálisok vektora, akkor Ñ a korrelált normálisok vektora ÉS.

Példa a Cholesky-felbontásra

Ez a legegyszerűbb példa a Cholesky-felbontásra, mivel a mátrixoknak négyzeteseknek kell lenniük, ebben az esetben a mátrix (2 × 2). Két sor két oszlop. Ezenkívül megfelel a főátló feletti és alatti nullák jellemzőinek. Ez a mátrix fél-pozitív, mivel a fő minorok pozitív determinánssal rendelkeznek. Meghatározzuk:

Megoldás erre: c2 = 4; b · c = -2; a2 + b2 = 5; négy lehetséges Cholesky-mátrixunk van:


Végül kiszámítjuk, hogy megtaláljuk (a, b, c). Ha megtaláltuk őket, meglesznek a Cholesky-mátrixok. A számítás a következő:

Címkék:  Egyéb Üzleti könyvelés 

Érdekes Cikkek

add